正四面体の作り方



オイラーの多面体定理によれば穴の開いていない多面体については、頂点と面と辺の数の間に以下の関係が成り立ちます。


頂点の数 + 面の数 - 辺の数 = 2


例えば正四面体では、


頂点の数4 + 面の数4 - 辺の数6 = 2


という関係になっていますね。


さて、この正四面体をFusion360でどうやってモデリングするか。


今回は正三角形を角度を付けて押し出すという方法で作ってみました。正三角形を描くのにポリゴンコマンド、押し出し時の角度を定義するのに数式を埋め込むという手法を用いています。


押し出し角度は次の式で定義できます。これをコマンド実行時のテーパ角度欄に入力してください。


-(90-acos(1/3))





上の数式は正四面体の各面が成す角度がいくつかというところから導き出しています。


正三角形の底辺の長さの半分をaとすると、正三角形の高さは √3a と表現できます。



一方、正三角形の底辺から重心までの距離は a/√3 となります。



これを正四面体上で表現するとこんな関係になります。



こここから正四面体の各面が成す角度Θは、


cosΘ = (a/√3)/√3a = 1/3

Θ = acos(1/3)


と表現できます。


押し出し時のテーパ角度としては 90-acos(1/3)、押し出し方向に狭まるようにするためには負の符号を付けて -(90-acos(1/3))と入力すればOKです。


他にも色々な作り方がありますが、おそらくこの方法が手数としては一番少ないんじゃないでしょうか。


それではまた。

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